欧几里德算法 及 扩展欧几里德算法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d整除与a, 整除与b，而r = a - kb，因此d整除与r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d整除与b , d整除与r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：

int Gcd(int a, int b)

{

if(b == 0)

return a;

return Gcd(b, a % b);

}

当然你也可以写成迭代形式：

int Gcd(int a, int b)

{

while(b != 0)

{

int r = b;

b = a % b;

a = r;

}

return a;

}

本质上都是用的上面那个原理。

#include <iostream>
using namespace std;

//欧几里德算法
int gcd1(int&a, int&b)
{
	int c;
	if (a<b)
	{
		c=a;
		a=b;
		b=c;
	}
	while (b!=0)
	{
		c=b;
		b=a%b;
		a=c;
	}
	return a;
}

//连续整数检测法
int gcd2(int&a, int&b)
{
	int c;
	if (a<b)
	{
		c=a;
		a=b;
		b=c;
	}
	c=b;
	while (!(a%c==0&&b%c==0))
	{
		c--;
	}
	return c;
}

int main()
{
	int a,b,result;
	cin>>a>>b;
	result=gcd1(a,b);
	result=gcd2(a,b);
	cout<<result<<endl;
	return 0;
}
测试数据：31415 14142
欧几里德算法 0.07S
连续整数检测法 0.09S

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(p, q) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)

{

if(b == 0)

{

x = 1;

y = 0;

return a;

}

int r = exGcd(b, a % b, x, y);

int t = x;

x = y;

y = t - a / b * y;

return r;

}

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

可以这样思考:

对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

那么可以得到:

a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>

bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>

ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)

补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：

p = p0 + b/Gcd(p, q) * t

q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

证明方法转载自<http://bbsunchen.javaeye.com/blog/256863>